State of the Collatz Problem
UPDATE: Es ist eine neuere Version dieses Papers verfügbar! Weitere Hinweise sind im dazugehörigen Artikel beschrieben.. Der untenstehende Link wurde an die neue Version angepasst.
Das Collatz-Problem, oder 3x+1 Problem beschreibt eine unbestätigte Vermutung in der Mathematik. Lothar Collatz stellte es vor mehr als 70 Jahren in seiner Studenten-Zeit.
(Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Collatz-Problem)
Letztes Jahr veröffentlichte Peter Schorer erste Versionen eines Papers in dem er einen Beweis vorschlägt. Als Teil meiner Zahlentheorie-Vorlesung habe ich ein Paper geschrieben das Schorer’s Behauptung beleuchtet.
Für alle Interessierten gibt’s hier das Paper zum Download.
State of the Collatz Problem (englisch) (PDF 188KB)
Abstract – We discuss a claimed proof to the Collatz-Conjecture that has been published by Peter Schorer. This is, we explain the basic concepts, terminology and lemmas he uses, as well as the proof itself. After reading this paper the reader should be able to quickly orient herself in Schorer’s original paper. Secondly we discuss and name several points in his work that give reason to critisism and skepticism. A short Haskell-program has been developed along with this paper and can be found in the appendix.
Außerdem gibt es begleitend dazu ein kleines Haskell-Programm welches ein so genanntes (möglicherweise unendliches) tuple-set ausgibt: collatz.zip (ZIP 4KB)
Bei negativen Zahlen wurden bisher 3 Kreise gefunden. Kannst Du Dein Programm automatisch mit negativen Primzahlen füttern, bis ein Kreis entsteht, der weder
-1, noch -5 oder -17 enthält?
Eine Liste mit allen negativen Primazahlen in Haskell zu erstellen ist nicht schwer.
primes = -2 : sieve [-3, -5..]
sieve (p:xs) = p : sieve [x | x<-xs, x `mod` p /= 0]
(ist ein sehr schönes Beispiel für Haskell; natürlich gibt es effizientere)
Allerdings ist mein Programm nicht geeignet Kreise zu finden denn
- es gibt nur die Exponenten aus (d.h. wie oft durch zwei geteilt wurde zwischen zwei aufeinander folgen Zahlen). Wenn man dort Wiederholungen beobachtet, kann man leider nicht daraus schließen, dass in den “zugrunde liegenden” Zahlen Kreise vorliegen.
- ich keinen Mechanismus habe, der die Zahlenreihe speichert. Um Kreise zu entdecken muss man ja immer abgleichen ob man eine Zahl schon einmal gesehen hat.
Es ist also ziemlich mühselig so etwas zu berechnen. Deswegen gibt es da ein Projekt in dem riesige Sequenzen berechnet werden.
http://ericr.nl/wondrous/
Having recently looked at Shorer’s paper, I found your paper interesting. You have put your finger on the problem areas of handling infinity and decidability. Here are some of my thoughts.
A non-counterexample corresponds to an exponent sequence of the form: {a2,a3,—,an,2,2,—,2,2}, where the sequence of 2′s extends to infinity. By my definition all other infinite exponent sequences correspond to a counterexample.
Thus {1,1,1,—,1,1,1} coresponds to a counterexample. The integers
(2^i – 1) generate exponent sequences which match the first i terms of the counterexample exponent sequence, e.g.
3 -> {1,4,2,2,———,2,2}
7 -> {1,1,2,3,4,2,2,—,2,2}
15 -> {1,1,1,5,4,2,2,—,2,2}
The proof in Section B of your paper relies on there being a first element at which the counterexample exponent sequence differs from any non-counterexample exponent sequence. In the example this only occurs for i equal to infinity. Although an infinity of counterexample exponent sequences exist, they all seem to correspond to infinite tuples. Its tempting to say that this proves the Collatz conjecture but there are lots of gaps to fill!
A much more critical review can be found here.
http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Collatz_conjecture/Archive_1
Interesting that you did not notice the fallacy in Lemma 6.0.